Wie benutze ich die Analysis-Lernübersicht?

Wähle zuerst die Struktur der Aufgabe in der Entscheidungstabelle. Öffne nur bei Bedarf die zugehörige Vertiefung und rechne das Schema anschließend ohne Vorlage nach.

Sind die Formeln ohne JavaScript sichtbar?

Ja. Formeln, Tabellen und Aufklappbereiche stehen bereits im serverseitig erzeugten HTML; JavaScript ist für die Lernübersicht nicht erforderlich.

TutorialAnalysisAnalysis 1

Analysis: Rechenwege, Kriterien und Aufgabentypen auf einen Blick.

Eine breite, aufklappbare Lernübersicht vom Zahlensystem bis zu Differentialgleichungen – mit Entscheidungswegen, Begriffen und klausurtauglichen Rechenketten.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht: 24. August 2026
Lesezeit: 55 Minuten

Diese Übersicht ist zum Rechnen, nicht zum linearen Lesen gebaut. Beginne bei der Struktur deiner Aufgabe, wähle das Kriterium und öffne nur dann die ausführliche Rechnung.

Aufgabensignal	Erster Griff	Ziel
Folge als Bruch	durch höchste Potenz teilen	Grenzwert direkt lesen
Differenz von Wurzeln	konjugiert erweitern	Differenz in Bruch verwandeln
rekursive Folge	Bereich, Monotonie, Schranke	Konvergenz, dann Fixpunkt
positive Reihe	Vergleich, Quotient oder Wurzel	Konvergenz oder Divergenz
alternierende Reihe	Leibniz und danach Betrag	bedingt oder absolut
Potenzreihe	Radius, dann beide Ränder	vollständiger Konvergenzbereich
Nahtstelle	Grenzwert, Wert, Differenzenquotient	Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Nullstellenbehauptung	Zwischenwertsatz oder Rolle	Existenz, Eindeutigkeit, Anzahl
unbestimmter Grenzwert	umformen, erst dann L’Hospital	bestimmter Grenzwert
Integral mit innerer Ableitung	Substitution	einfaches Grundintegral
Produkt im Integral	partielle Integration	Komplexität senken
Funktion in zwei Variablen	Gradient, Hesse-Matrix	kritische Punkte klassifizieren

1. Zahlen, Ordnung und algebraische Grundlagen

Abschnitt	Worum geht es?	Das kannst du danach	Begriffe
Geordneter Körper	Rechnen und Vergleichen in den reellen Zahlen	Ungleichungen äquivalent umformen	Körperaxiome, Ordnung, Positivität
Archimedisches Prinzip	Natürliche Zahlen überschreiten jede reelle Schranke	Indizes und ganzzahlige Abschätzungen wählen	archimedisch, Bernoulli-Ungleichung
Betrag und Norm	Abstand ohne Vorzeichen	Fallunterscheidungen und Dreiecksungleichung	Betrag, Abstand, Dreiecksungleichung
Komplexe Zahlen	Ebene und Algebra verbinden	Betrag, Produkt, Quotient und Potenz rechnen	Realteil, Imaginärteil, Konjugation, Polarform
Vollständigkeit	kleinste obere Schranken sichern	Existenz von Grenzwerten begründen	obere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum
Wurzeln und rationale Potenzen	Vollständigkeit auf Potenzen anwenden	Wurzeln eindeutig einordnen	n-te Wurzel, rationale Potenz

Ungleichung mit Betrag: in Fälle zerlegen

Gesucht ist die Lösungsmenge von $|2x-3|<5$ .

Rechnung	Schritt
$\vert2x-3\vert<5$	Betrag als Doppelungleichung
$-5<2x-3<5$	Definition für positive Grenze
$-2<2x<8$	überall 3 addieren
$-1<x<4$	überall durch 2 teilen

Ergebnis: $x\in(-1,4)$ .

Supremum zeigen: obere Schranke plus Annäherung

Für $M=\{1-1/n:n\in\mathbb{N},n\ge1\}$ ist die Vermutung $\sup M=1$ .

Baustein	Rechnung
obere Schranke	$1-1/n<1$ für jedes $n$
beliebige Lücke	sei $\epsilon>0$
Index wählen	$n>1/\epsilon$
an 1 heran	$1-\epsilon<1-1/n<1$

Damit ist 1 obere Schranke und jede kleinere Zahl wird von einem Element aus $M$ überschritten.

Vertiefung: Reelle Zahlen und Vollständigkeit, Komplexe Zahlen, Funktionen und Abbildungen.

2. Folgen: Entscheidungsmatrix

Struktur von $a_n$	Methode	Vor dem Schluss prüfen
Quotient zweier Polynome	durch höchste $n$ -Potenz teilen	Grade und Leitkoeffizienten
$\sqrt{n^2+an}-n$	konjugiert erweitern	positives Vorzeichen der Wurzel
$q^n$ oder $n^kq^n$	Betrag von $q$	kleiner 1, gleich 1 oder größer 1
$(-1)^n b_n$	gerade und ungerade Teilfolge	haben beide denselben Grenzwert?
$z^n$ komplex	zuerst den Betrag potenzieren	Argument kann rotieren
rekursiv $a_{n+1}=F(a_n)$	invariantes Intervall, Monotonie, Schranke	Fixpunkt erst nach Konvergenz
Grenzwert unbekannt	Cauchy-Kriterium	Abstand zweier später Glieder
beschränkt, aber unübersichtlich	Teilfolgen/Bolzano-Weierstraß	Häufungswert ist noch kein Grenzwert

Bruchfolge: höchste Potenz ausklammern

$a_n=\frac{5n^2-3n+7}{2n^2+n-4}$

Rechnung	Was passiert?
$a_n=\frac{n^2(5-3/n+7/n^2)}{n^2(2+1/n-4/n^2)}$	höchste Potenz ausklammern
$a_n=\frac{5-3/n+7/n^2}{2+1/n-4/n^2}$	$n^2$ kürzen
$1/n\to0$ und $1/n^2\to0$	bekannte Nullfolgen
$a_n\to\frac{5}{2}$	Quotientenregel; Nennergrenzwert ist 2

Merke: Zählergrad kleiner bedeutet Grenzwert 0; größerer Zählergrad bedeutet meist bestimmte Divergenz oder eine Vorzeichenprüfung.

Wurzelfolge: konjugiert erweitern

$a_n=\sqrt{n^2+6n}-n$

Rechnung	Was passiert?
$a_n=\frac{(\sqrt{n^2+6n}-n)(\sqrt{n^2+6n}+n)}{\sqrt{n^2+6n}+n}$	mit Konjugiertem erweitern
$a_n=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}$	dritte binomische Formel
$a_n=\frac{6}{\sqrt{1+6/n}+1}$	Zähler und Nenner durch $n$
$a_n\to\frac{6}{2}=3$	Stetigkeit der Wurzel

Oszillation: zwei Teilfolgen genügen

Für $a_n=(-1)^n(2+1/n)$ :

Teilfolge	Grenzwert
$a_{2k}=2+1/(2k)$	$a_{2k}\to2$
$a_{2k+1}=-(2+1/(2k+1))$	$a_{2k+1}\to-2$

Zwei Teilfolgen besitzen verschiedene Grenzwerte. Also konvergiert $(a_n)$ nicht.

Rekursive Folge: vier Beweisschritte

Gegeben sei $a_1=1$ und $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ .

Ziel	Rechnung
Bereich starten	$1\le a_1\le2$
Bereich erhalten	aus $1\le a_n\le2$ folgt $\sqrt{3}\le a_{n+1}\le2$
Monotonie vorbereiten	$a_{n+1}\ge a_n$ ist äquivalent zu $2+a_n\ge a_n^2$
Vorzeichen	$2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(a_n+1)\ge0$ im Bereich $[1,2]$
Konvergenz	monoton wachsend und nach oben durch 2 beschränkt
Fixpunkt	$L=\sqrt{2+L}$ , also $L^2-L-2=0$
zulässige Lösung	$L=2$ ; die Lösung $-1$ liegt nicht im Bereich

Vertiefung: Epsilon-Beweise, Folgen nach Struktur, rekursive Folgen, Teilfolgen und Cauchy.

3. Reihen: Kriterium auswählen

Zuerst immer $a_n\to0$ prüfen. Gilt das nicht, divergiert $\sum a_n$ sofort. Gilt es, ist noch nichts entschieden.

Signal in $a_n$	Passendes Werkzeug	Was zeigt es?
$q^n$	geometrische Reihe	Konvergenz bei Betrag von q kleiner 1
ähnlich $1/n^p$	Vergleich oder Grenzwertvergleich	Konvergenz für $p>1$
Vorzeichen $(-1)^n$	Leibniz	Konvergenz, wenn Betrag monoton gegen 0
nur positive Terme und Fakultäten	Quotientenkriterium	absolute Konvergenz bei Grenzwert kleiner 1
Term ist n-te Potenz	Wurzelkriterium	absolute Konvergenz bei Grenzwert kleiner 1
Differenz $b_n-b_{n+1}$	Teleskopieren	Partialsumme kürzt sich
Potenzreihe $c_n(x-x_0)^n$	Radius plus Randprüfung	vollständiger Konvergenzbereich
Produkt zweier Reihen	Cauchy-Produkt	Koeffizientenfaltung unter Voraussetzungen

Vergleich mit p-Reihe

Untersuche $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+4n}$ .

Rechnung	Begründung
$0<\frac{1}{n^2+4n}\le\frac{1}{n^2}$	Nenner ist mindestens $n^2$
$\sum 1/n^2$ konvergiert	p-Reihe mit $p=2$
$\sum 1/(n^2+4n)$ konvergiert	Majorantenkriterium

Leibniz: erst Originalreihe, dann Betragsreihe

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$

Prüfung	Ergebnis
$b_n=1/\sqrt{n}>0$	positiv
$b_{n+1}\le b_n$	monoton fallend
$b_n\to0$	Nullfolge
Leibniz	ursprüngliche Reihe konvergiert
Betragsreihe $\sum1/\sqrt{n}$	p-Reihe mit $p=1/2$ divergiert
Schluss	bedingt, nicht absolut konvergent

Quotientenkriterium bei Fakultäten

Untersuche $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}$ .

Rechnung	Kürzung
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{3^n}$	Quotient bilden
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{n+1}$	Potenz und Fakultät kürzen
$\frac{3}{n+1}\to0<1$	Grenzwert
Reihe konvergiert absolut	Quotientenkriterium

Potenzreihe: Radius und Randpunkte getrennt

Untersuche $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n3^n}$ .

Schritt	Rechnung
Quotient	$\left
Grenzwert	$\vert x-2\vert/3$
Radiusbedingung	$\vert x-2\vert<3$
offenes Intervall	$-1<x<5$
Rand $x=5$	$\sum1/n$ divergiert
Rand $x=-1$	$\sum(-1)^n/n$ konvergiert nach Leibniz
Bereich	$[-1,5)$

Vertiefung: Vergleichskriterien, Leibniz und absolute Konvergenz, Quotient und Wurzel, Potenzreihen.

4. Funktionen, Stetigkeit und Grenzwerte

Abschnitt	Kernfrage	Begriffe	Klausurgriff
Stetigkeit	folgt $f(x)$ dem Grenzwert von $x$ ?	Folgenkriterium, Epsilon-Delta	problematischen Punkt isolieren
Sätze auf Intervallen	existiert ein Wert oder Extremum?	Zwischenwertsatz, kompakt, Maximum	Voraussetzungen zuerst nennen
Funktionenfolgen	gilt Konvergenz für jedes x oder gleichmäßig?	punktweise, gleichmäßig, Supremumsnorm	erst x fixieren, dann Supremum
Umkehrfunktion	ist f eindeutig und deckt das Ziel ab?	streng monoton, bijektiv	Monotonie und Bild bestimmen
Logarithmus und Potenzen	wie werden allgemeine Exponenten definiert?	Logarithmus, Exponentialfunktion	über Umkehrfunktion und exp
Funktionsgrenzwerte	was geschieht am Rand oder an einer Lücke?	Häufungspunkt, links/rechts	normieren oder rationalisieren
Asymptoten	welcher einfache Term bleibt übrig?	vertikal, horizontal, schief	Grenzwert von $f(x)-(mx+b)$

Nahtstelle: Stetigkeit in drei Zeilen

$f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\ c,&x=1\end{cases}$

Rechnung	Schritt
$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ für $x\neq1$	faktorisieren und kürzen
$\lim_{x\to1}f(x)=2$	Grenzwert der gekürzten Form
$f(1)=c$	eingesetzter Wert
stetig genau für $c=2$	Grenzwert gleich Funktionswert

Nullstelle: Existenz und Eindeutigkeit getrennt

Für $f(x)=x^3+x-1$ auf $[0,1]$ :

Behauptung	Nachweis
stetig	Polynom
Vorzeichenwechsel	$f(0)=-1$ , $f(1)=1$
mindestens eine Nullstelle	Zwischenwertsatz
Ableitung	$f'(x)=3x^2+1>0$
streng wachsend	aus positivem Ableitungswert
höchstens eine Nullstelle	strenge Monotonie
genau eine Nullstelle	Existenz plus Eindeutigkeit

Gleichmäßige Konvergenz über das Supremum

Auf $[0,1]$ sei $f_n(x)=x/n$ und $f(x)=0$ .

Rechnung	Schritt
$\vert f_n(x)-f(x)\vert=x/n$	Differenz
$0\le x/n\le1/n$	Bereich $0\le x\le1$
$\sup_{x\in[0,1]}x/n=1/n$	Maximum bei $x=1$
$1/n\to0$	unabhängig von x
$f_n\to0$ gleichmäßig	Supremumsnorm geht gegen 0

Vertiefung: Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Funktionenfolgen, Grenzwerte und Asymptoten.

5. Differentialrechnung in einer Variablen

Abschnitt	Was wird gelernt?	Begriffe	Typischer Einsatz
Ableitung	lineare lokale Änderung	Differenzenquotient, Tangente	Regeln erst nach Strukturwahl
Implizit/logarithmisch	nicht explizite oder große Produkte ableiten	implizit, logarithmisch	beide Seiten ableiten
Rolle und Mittelwertsatz	globale Aussage aus lokaler Ableitung	Rolle, MWS	Nullstellen, Ungleichungen
Taylor	Funktion lokal durch Polynom ersetzen	Taylorpolynom, Restglied	Näherung und Grenzwert
Trigonometrie	Ableitungen und Identitäten	sin, cos, tan	Kurvendiskussion, Reihen
L’Hospital	unbestimmte Quotientenformen	0/0, unendlich/unendlich	erst Form nachweisen
Newton	Nullstellen iterativ annähern	Tangente, Iteration	Startwert und Ableitung prüfen

Verschachtelte Funktion: von außen nach innen markieren

Für $f(x)=(1+3x^2)^5$ :

Ebene	Rechnung
äußere Funktion	$u^5$ liefert $5u^4$
innere Funktion	$u(x)=1+3x^2$ liefert $u'(x)=6x$
Kettenregel	$f'(x)=5(1+3x^2)^4\cdot6x$
vereinfachen	$f'(x)=30x(1+3x^2)^4$

Stückweise und oszillierend: Differenzenquotient statt Bauchgefühl

$f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$

Prüfung bei 0	Rechnung
Stetigkeit	$\vert x^2\sin(1/x)\vert\le x^2\to0$
Differenzenquotient	$\frac{f(h)-f(0)}{h}=h\sin(1/h)$
Abschätzung	$\vert h\sin(1/h)\vert\le\vert h\vert\to0$
Ableitung	$f'(0)=0$
Hinweis	Stetigkeit von $f'$ separat untersuchen

Mittelwertsatz als Ungleichungsmaschine

Zeige für $x\ge0$ : $\ln(1+x)\le x$ .

Schritt	Rechnung
Funktion	$f(t)=\ln(1+t)$ auf $[0,x]$
MWS	$f(x)-f(0)=f'(c)x$ für ein $c\in(0,x)$
Ableitung	$f'(c)=1/(1+c)\le1$
Schluss	$\ln(1+x)=x/(1+c)\le x$

Taylorpolynom in einer Tabelle

Bestimme das Taylorpolynom dritten Grades von $e^x$ bei 0.

k	$f^{(k)}(0)$	Term
0	1	1
1	1	$x$
2	1	$x^2/2$
3	1	$x^3/6$

$T_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$

Vertiefung: Ableitungsregeln, Nahtstellen, Rolle und Mittelwertsatz, Taylor, L’Hospital und Newton, Kurvendiskussion.

6. Mehrdimensionale Differentialrechnung

Abschnitt	Ziel	Begriffe	Rechenfolge
Partielle Ableitungen	Änderung entlang Koordinatenrichtungen	Gradient, Jacobi-Matrix	jeweils andere Variablen festhalten
Zweite Ableitungen	lokale Krümmung	Hesse-Matrix, Satz von Schwarz	gemischte Ableitungen vergleichen
Freie Extrema	kritische Punkte klassifizieren	Definitheit, Eigenwerte, Sattel	Gradient null, dann Hesse
Gesamtdifferenzierbarkeit	lineare Näherung in allen Richtungen	Fréchet-Ableitung	Rest durch Norm teilen
Kettenregel	verkettete Abbildungen ableiten	Jacobi-Matrizen	Matrizen in richtiger Reihenfolge
Nebenbedingungen	Extrema auf einer Kurve/Fläche	Lagrange-Multiplikator	Gradient parallel zur Nebenbedingung

Gradient und Hesse-Matrix: vollständige Klassifikation

Für $f(x,y)=x^2+xy+y^2-4x-2y$ :

Schritt	Rechnung
Gradient	$\nabla f=(2x+y-4,x+2y-2)$
Gleichungssystem	$2x+y=4$ und $x+2y=2$
Lösung	$(x,y)=(2,0)$
Hesse-Matrix	$H=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$
Hauptminoren	$2>0$ , $\det H=3>0$
Klassifikation	positiv definit, also striktes lokales Minimum

Lagrange: Kandidaten auf einem Kreis

Extremiere $f(x,y)=x+y$ unter $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$ .

Schritt	Rechnung
Gradienten	$\nabla f=(1,1)$ , $\nabla g=(2x,2y)$
Lagrange	$(1,1)=\lambda(2x,2y)$
Verhältnis	$x=y$
Nebenbedingung	$2x^2=1$
Kandidaten	$(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ und $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$
Werte	$\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$

Vertiefung: Gradient und Hesse-Matrix, Lagrange, mehrdimensionale Differenzierbarkeit.

7. Integralrechnung und Differentialgleichungen

Abschnitt	Kernidee	Begriffe	Klausurtechnik
Stammfunktionen	Ableitung rückwärts	unbestimmtes Integral	Konstante nicht vergessen
Substitution	innere Variable austauschen	Variablenwechsel	Differential und Grenzen ändern
Partielle Integration	Produktregel rückwärts	Produktintegral	Faktor sinnvoll ableiten
Partialbrüche	rationale Funktion zerlegen	Polynomdivision, Linearfaktor	Nenner vollständig faktorisieren
Treppen-/Regelfunktionen	Integral aus einfachen Approximationen	Riemannsumme, gleichmäßig	Definition und Grenzübergang
Hauptsatz	Ableiten und Integrieren verbinden	Integralfunktion	Stetigkeitsvoraussetzung nennen
Uneigentliche Integrale	problematische Grenze auslagern	Grenzwert, Singularität	jede Problemstelle separat
Geometrische Anwendungen	Querschnitte oder Weglänge summieren	Rotation, Bogenlänge	Skizze und Einheiten
Differentialgleichung 1. Ordnung	Funktion aus Änderungsregel gewinnen	trennbar, linear	Typ vor Ansatz erkennen
Höhere Ordnung	Polynom für Exponentialansatz	charakteristische Gleichung	Mehrfachwurzeln beachten

Substitution: Grenzen sofort mitnehmen

Berechne $\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$ .

Schritt	Rechnung
Substitution	$u=x^2$ , $du=2x\,dx$
neue Grenzen	$x=0\mapsto u=0$ , $x=1\mapsto u=1$
neues Integral	$\int_0^1\cos(u)\,du$
Stammfunktion	$[\sin(u)]_0^1$
Ergebnis	$\sin(1)$

Partielle Integration: Polynom wird einfacher

Berechne $\int xe^x\,dx$ .

Wahl	Ausdruck
$u=x$	$du=dx$
$dv=e^x dx$	$v=e^x$
Formel	$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
einsetzen	$xe^x-\int e^x dx$
Ergebnis	$e^x(x-1)+C$

Uneigentliches Integral: erst als Grenzwert schreiben

$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$

Schritt	Rechnung
Definition	$\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx$
Stammfunktion	$\lim_{R\to\infty}[-1/x]_1^R$
auswerten	$\lim_{R\to\infty}(1-1/R)$
Ergebnis	1, also konvergent

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Löse $y'+2y=4$ mit $y(0)=1$ .

Schritt	Rechnung
homogene Lösung	$y_h=Ce^{-2x}$
konstante partikuläre Lösung	$y_p=2$
allgemeine Lösung	$y=Ce^{-2x}+2$
Anfangswert	$1=C+2$
Konstante	$C=-1$
Lösung	$y(x)=2-e^{-2x}$

Vertiefung: Integrationsregeln, Partialbruchzerlegung, Hauptsatz, uneigentliche Integrale, Differentialgleichungen erster Ordnung.

8. Vertiefungen und Grenzübergänge

Abschnitt	Worum geht es?	Lernziel	Begriffe
Funktionenfolgen II	Grenzwert mit Integral/Ableitung vertauschen	Voraussetzungen statt Symboltausch	gleichmäßige Konvergenz
Stirling und Wallis	Fakultäten asymptotisch schätzen	Größenordnungen vergleichen	asymptotisch, Produkt
Fourierreihen	periodische Funktion durch Schwingungen darstellen	Koeffizienten und Symmetrie	Fourierkoeffizient, Partialsumme
Parameterintegrale	Integral hängt von Parameter ab	unter dem Integral ableiten	Majorante, Parameter
Doppelintegrale	über ebene Gebiete summieren	Grenzen aus Gebiet lesen	iteriertes Integral
Höhere Differentialgleichungen	mehrere Ableitungsordnungen koppeln	homogene und partikuläre Lösung	charakteristisches Polynom

Vertiefung: Funktionenfolgen und Rechenoperationen, Stirling und Wallis, Fourierreihen, Parameter- und Doppelintegrale, höhere Differentialgleichungen.

9. Formale Beweise und Fehlerkontrolle

Aufgabentyp	Muss sichtbar im Text stehen	Häufiger Fehler
Epsilon-Beweis	beliebiges Epsilon, konkrete N-Wahl, alle $n\ge N$	nur numerische Glieder betrachten
Induktion	Anfang, Annahme, Schritt $n\to n+1$	Annahme nicht benutzen
Satz anwenden	jede Voraussetzung und das konkrete Intervall	nur Satznamen nennen
Gegenbeispiel	Objekt erfüllt Voraussetzung, verletzt Schluss	Beispiel ohne Prüfung
Extrema	alle kritischen Punkte und Klassifikation	nur Gradient null setzen
uneigentliches Integral	expliziter Grenzwert	Unendlich wie Zahl einsetzen
Potenzreihe	Radius und beide Ränder	Randpunkte vergessen
ODE	allgemeine Lösung und Anfangswert	Integrationskonstante verlieren

Wahr oder falsch: kleinste Gegenbeispiele suchen

Behauptung: „Jede beschränkte Folge konvergiert.“

Prüfung	Inhalt
Voraussetzung	$a_n=(-1)^n$ ist beschränkt durch $-1$ und 1
Schluss testen	gerade Teilfolge geht gegen 1
zweiter Test	ungerade Teilfolge geht gegen -1
Ergebnis	verschiedene Teilfolgengrenzwerte, also Behauptung falsch

Vollständige Induktion: Bernoulli-Muster

Zeige für $x\ge-1$ und $n\in\mathbb{N}$ : $(1+x)^n\ge1+nx$ .

Teil	Rechnung
Anfang $n=1$	$1+x=1+x$
Annahme	$(1+x)^n\ge1+nx$
Schritt	$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)$
Annahme einsetzen	$\ge(1+nx)(1+x)$
ausmultiplizieren	$=1+(n+1)x+nx^2$
Positivität	$nx^2\ge0$
Schluss	$(1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)x$

Vertiefung: Induktion, Definitionen und Gegenbeispiele.

10. Lernroute in fünf Durchläufen

Erkennen: Nur die Entscheidungstabellen benutzen und pro Aufgabe die Struktur benennen.
Nachrechnen: Eine aufgeklappte Rechenkette ohne Auslassung abschreiben und erklären.
Schließen: Zu jedem Beispiel den letzten formalen Satz ergänzen: Kriterium, Voraussetzungen, Ergebnis.
Variieren: Zahlen und Exponenten ändern; prüfen, an welchem Schritt die Methode kippt.
Ohne Vorlage: Erst rechnen, danach mit Fehlerkontrolle und Kapitelartikel abgleichen.

Die vollständige Kapitelliste steht auf der Modulseite Analysis 1. Jede Vertiefungsseite enthält einen eigenständigen Rechenweg und eine kurze formale Schlussvorlage.

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1. Zahlen, Ordnung und algebraische Grundlagen

2. Folgen: Entscheidungsmatrix

3. Reihen: Kriterium auswählen

4. Funktionen, Stetigkeit und Grenzwerte

5. Differentialrechnung in einer Variablen

6. Mehrdimensionale Differentialrechnung

7. Integralrechnung und Differentialgleichungen

8. Vertiefungen und Grenzübergänge

9. Formale Beweise und Fehlerkontrolle

10. Lernroute in fünf Durchläufen

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