Potenzreihen: Konvergenzradius und Randpunkte bestimmen.

Fester Ablauf

1. Zentrum $x_0$ erkennen.
2. Radius R mit Quotient oder Wurzel bestimmen.
3. $|x-x_0|<R$ in ein offenes Intervall übersetzen.
4. Linken Rand einsetzen.
5. Rechten Rand einsetzen.
6. Endpunkte einzeln in das Ergebnis aufnehmen oder ausschließen.

Beispiel

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x+1)^n}{4^n}.$$

Radius

Linker Rand $x=-5$

$$\frac{n(-4)^n}{4^n}=n(-1)^n.$$

Die Glieder gehen nicht gegen null; die Reihe divergiert.

Rechter Rand $x=3$

$$\frac{n4^n}{4^n}=n.$$

Auch hier sind die Glieder keine Nullfolge. Der Konvergenzbereich ist $(-5,3)$.

Ableiten und Integrieren

Im Inneren des Konvergenzintervalls darf eine Potenzreihe gliedweise differenziert und integriert werden:

$$\sum c_n(x-x_0)^n\quad\mapsto\quad\sum_{n=1}^{\infty}nc_n(x-x_0)^{n-1}.$$

Der Radius bleibt dabei gleich; die Randpunkte müssen erneut geprüft werden.

Fehlercheck

• Der Radiustest macht keine Aussage über die Randpunkte.
• Bei jedem Randpunkt entsteht eine gewöhnliche Zahlenreihe mit eigenem Kriterium.
• Zentrum und Radius nicht mit den Intervallgrenzen verwechseln.