Funktionsgrenzwerte berechnen und Asymptoten bestimmen.

Grenzwertmethoden

Schiefe Asymptote

Für

$$f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x+1}$$

liefert Polynomdivision

$$f(x)=2x+1.$$

Hier stimmt die Funktion bis auf die entfernte Stelle sogar exakt mit der Geraden überein. Bei einem Restterm $r(x)/(x+1)$ wäre $y=2x+1$ die schiefe Asymptote, falls der Restquotient gegen null geht.

Allgemeines Asymptotenschema

Für eine schiefe Asymptote $mx+b$:

$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,qquad b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx).$$

Beide Grenzwerte müssen endlich sein.

Vertikale Asymptote

Bei $g(x)=1/(x-2)$ gilt

$$\lim_{x\to2^-}g(x)=-\infty,qquad \lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty.$$

Also ist $x=2$ vertikale Asymptote. Die einseitigen Vorzeichen gehören zur vollständigen Aussage.

Horizontaler Grenzwert

$$h(x)=\frac{3x^2-x}{x^2+4} =\frac{3-1/x}{1+4/x^2}\to3.$$

Damit ist $y=3$ horizontale Asymptote für $x\to\infty$.

Fehlercheck

• Eine Nullstelle des Nenners ist nur dann Polstelle, wenn sie nicht gekürzt wird.
• Asymptoten für $+\infty$ und $-\infty$ können verschieden sein.
• Für schiefe Asymptoten beide Parameter m und b bestimmen.