Stückweise Funktionen: Stetigkeit und Differenzierbarkeit am Übergang.

Prüfplan an $x0$

1. Existiert der beidseitige Funktionsgrenzwert?
2. Ist er gleich $f(x_0)$?
3. Existiert der Differenzenquotient?
4. Stimmen bei glatten Stücken die einseitigen Ableitungen?
5. Ist die entstandene Ableitung selbst stetig?

Parameter an einer Nahtstelle

$$f(x)=\begin{cases}x^2+ax,&x<1\\bx+1,&x\ge1.\end{cases}$$

Stetigkeit bei 1:

$$1+a=b+1\quad\implies\quad a=b.$$

Differenzierbarkeit verlangt zusätzlich

$$2+a=b.$$

Zusammen mit $a=b$ ergäbe das $2=0$. Es gibt also keine Parameterwahl, die f bei 1 differenzierbar macht.

Oszillation dämpfen

Für

$$g(x)=\begin{cases}x^3\cos(1/x),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$$

gilt

$$\left|\frac{g(h)-g(0)}h\right|=|h^2\cos(1/h)|\le h^2\to0.$$

Also ist $g'(0)=0$.

Für $x\neq0$:

$$g'(x)=3x^2\cos(1/x)+x\sin(1/x).$$

Beide Terme gehen gegen 0, also ist $g'$ sogar bei 0 stetig.

Fehlercheck

• Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit; umgekehrt gilt das nicht.
• An der Nahtstelle nicht blind die Ableitungsformel eines Teilstücks einsetzen.
• Oszillation wird durch eine ausreichend hohe x-Potenz gedämpft; die benötigte Potenz hängt von der Ableitungsordnung ab.