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AnleitungAnalysisAnalysis 1

Reihen: Konvergenz mit Vergleich, Majorante und Teleskopieren.

Prüfe zuerst das Folgenglied, erkenne anschließend Vergleichsreihen oder eine teleskopierende Struktur und formuliere den Schluss sauber.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht
Lesezeit
18 Minuten
Titelbild: Reihen: Konvergenz mit Vergleich, Majorante und Teleskopieren.

Startprüfung jeder Reihe

Für ∑an\sum a_n muss an→0a_n\to0 gelten. Ist der Grenzwert ungleich null oder existiert er nicht, divergiert die Reihe. Umgekehrt reicht an→0a_n\to0 nicht aus.

Methodenwahl

TermstrukturMethode
ähnlich 1/np1/n^pVergleich oder Grenzwertvergleich
Quotient rationaler Polynomeführende Potenzen vergleichen
Differenz benachbarter TermeTeleskopieren
positiver Term leicht nach oben abschätzbarMajorante
positiver Term von divergenter Reihe nach unten abschätzbarMinorante

Grenzwertvergleich

Untersuche

∑n=1∞3n+1n3+2. \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{n^3+2}.

Der Term sieht wie 3/n23/n^2 aus. Vergleiche mit bn=1/n2b_n=1/n^2:

RechnungBedeutung
anbn=(3n+1)n2n3+2\frac{a_n}{b_n}=\frac{(3n+1)n^2}{n^3+2}Quotient bilden
=3+1/n1+2/n3=\frac{3+1/n}{1+2/n^3}durch n3n^3 teilen
→3\to3positiver endlicher Grenzwert
∑bn\sum b_n konvergiertp-Reihe mit p=2p=2
∑an\sum a_n konvergiertGrenzwertvergleich

Teleskopreihe

∑n=1∞1n(n+1) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}

RechnungSchritt
1n(n+1)=1n-1n+1\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}Partialbruch
SN=1-1/2+1/2-1/3+…+1/N-1/(N+1)S_N=1-1/2+1/2-1/3+\ldots+1/N-1/(N+1)Partialsumme ausschreiben
SN=1-1/(N+1)S_N=1-1/(N+1)innere Terme kürzen
SN→1S_N\to1Grenzwert der Partialsummen

Formale Schlussvorlage

Alle Terme sind nichtnegativ. Für hinreichend große n gilt 0≤an≤bn0\le a_n\le b_n. Da die Vergleichsreihe ∑bn\sum b_n konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch ∑an\sum a_n.

Fehlercheck

  • Kriterien gelten oft erst ab einem Index; endlich viele Anfangsterme sind unerheblich.
  • Bei einer Minorante muss die kleinere Reihe divergieren und beide Terme müssen nichtnegativ sein.
  • Nicht „die Reihe geht gegen null“ sagen; die Partialsummen konvergieren, die Glieder gehen gegen null.
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