AnleitungAnalysisAnalysis 1

Stirling-Formel und Wallis-Produkt für Abschätzungen.

Nutze logarithmische Umformungen, Integrale und Quotienten, um Fakultäten und zentrale Binomialkoeffizienten asymptotisch zu vergleichen.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Stirling als Größenvergleich

Für große n gilt

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.$

Die Aussage ist asymptotisch:

$\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}\to1.$

$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}.$

Mit Stirling:

Rechnung	Kürzung
$(2n)!\approx\sqrt{4\pi n}(2n/e)^{2n}$	Zähler
$(n!)^2\approx2\pi n(n/e)^{2n}$	Nenner
Quotient $\approx\frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n}2^{2n}$	gemeinsame Faktoren kürzen
$\binom{2n}{n}\approx\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$	vereinfachen

Das Wallis-Produkt verbindet gerade und ungerade Faktoren:

$\frac\pi2=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}.$

Es entsteht aus Integralen von Sinuspotenzen und liefert Abschätzungen, aus denen auch der Wurzelfaktor in Stirlings Formel verständlich wird.

Produkte werden häufig durch Logarithmen zu Summen:

$\ln(n!)=\sum_{k=1}^{n}\ln k.$

Diese Summe lässt sich mit Integralen von $\ln x$ einrahmen.

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