Kurvendiskussion: Definitionsbereich, Monotonie, Extrema und Asymptoten.

Reihenfolge ohne Lücken

1. Definitionsbereich und Symmetrie.
2. Nullstellen und Achsenabschnitt.
3. Grenzwerte und Asymptoten.
4. Erste Ableitung, kritische Stellen, Vorzeichentabelle.
5. Zweite Ableitung, Krümmung und Wendestellen.
6. Funktionswerte aller Kandidaten und Wertebereich.

Beispiel: $f(x)=xe^{-x}$

Bereich und Grenzwerte

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$.

$$\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0,qquad \lim_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty.$$

Für $x\to\infty$ ist $y=0$ horizontale Asymptote.

Monotonie und Extremum

Krümmung

$$f''(x)=e^{-x}(x-2).$$

Bei $x=2$ wechselt das Vorzeichen; Wendepunkt ist $(2,2/e^2)$.

Wertebereich

Die Funktion ist nach links unbeschränkt und besitzt das globale Maximum $1/e$. Daher ist der Wertebereich

$$(-\infty,1/e].$$

Fehlercheck

• Kritische Stellen auch dort prüfen, wo die Ableitung nicht existiert.
• Vorzeichentabelle statt alleiniger zweiter Ableitung verwenden, wenn $f''=0$ keine Entscheidung liefert.
• Koordinaten eines Extrem- oder Wendepunkts enthalten x- und Funktionswert.