Folgen untersuchen: Brüche, Wurzeln, Potenzen und Oszillation.

Struktur vor Methode

Polynombruch mit kleinerem Zählergrad

$$a_n=\frac{7n+2}{n^2-3}.$$

Zwei Wurzeln rationalisieren

$$b_n=\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2+n}.$$

Potenz gegen Polynom

Ist der Betrag von q kleiner als 1, so gilt $n^kq^n\to0$. Ein Quotient macht das sichtbar:

$$\left|\frac{(n+1)^kq^{n+1}}{n^kq^n}\right|=|q|\left(1+\frac1n\right)^k\to|q|<1.$$

Die Beträge fallen schließlich geometrisch.

Bestimmte Divergenz oder Oszillation

• $n^2-3n\to+\infty$: schließlich positiv und unbeschränkt.
• $(-1)^n n$: weder gegen $+\infty$ noch gegen $-\infty$; Vorzeichen wechselt.
• $(-1)^n$: beschränkt, aber Teilfolgenlimits 1 und -1.

Fehlercheck

• „Divergent“ ist nicht automatisch „geht gegen unendlich“.
• Bei Wurzeln $\sqrt{n^2}=|n|$; für natürliche große n ist das n.
• Bei komplexen Potenzen reicht ein beschränkter Betrag nicht für Konvergenz.