L’Hospital und Newton-Verfahren korrekt einsetzen.

L’Hospital: Zulässigkeitsprüfung

Die Regel ist für Quotientenformen $0/0$ oder unendlich/unendlich gedacht. Vor dem Ableiten:

1. Zählergrenzwert bestimmen.
2. Nennergrenzwert bestimmen.
3. Differenzierbarkeit in einer Umgebung prüfen.
4. Grenzwert des Ableitungsquotienten untersuchen.

Beispiel

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}.$$

Unbestimmte Produkte umformen

$x\ln x$ für $x\to0^+$ ist kein Quotient. Schreibe

$$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.$$

Nun liegt unendlich/unendlich vor:

$$\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.$$

Newton-Verfahren

Für $f(x)=x^2-2$:

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}.$$

Mit $x_0=1.5$:

Fehlercheck

• L’Hospital nicht auf Summen, Produkte oder bestimmte Formen anwenden.
• Wiederholtes L’Hospital nur nach erneuter Formprüfung.
• Newton scheitert bei $f'(x_n)=0$ oder ungünstigem Startwert; Iteration kontrollieren.