Komplexe Zahlen: Betrag, Polarform und Potenzen.

Algebraische Form

Für $z=3-4i$ gelten

$$\mathrm{Re}(z)=3,\qquad \mathrm{Im}(z)=-4,\qquad \overline{z}=3+4i.$$

Der Betrag wird ohne Winkel berechnet:

$$|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5.$$

Produkt und Quotient

Seien $z=2+i$ und $w=1-3i$.

Beim Quotienten wird der Nenner reell gemacht:

Polarform und Potenzen

Schreibe $z=r(\cos\phi+i\sin\phi)$. Dann gilt

$$z^n=r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi)).$$

Für $z=\sqrt{2}(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))$:

Ortslinie aus Abständen

$|z-1|=|z+1|$ bedeutet: Der Punkt $z=x+iy$ hat gleichen Abstand zu 1 und -1.

$$(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2$$

$$x^2-2x+1=x^2+2x+1\quad\implies\quad x=0.$$

Die Ortslinie ist die imaginäre Achse.

Fehlercheck

• Beim Quadrieren eines Betrags immer $|z|^2=z\overline{z}$ verwenden.
• Ein komplexes $z^n$ kann trotz konstantem Betrag durch wechselnde Winkel divergieren.
• Bei Argumenten Quadrant und Vorzeichen prüfen.