Funktionenfolgen gliedweise integrieren und differenzieren.

Welche Vertauschung braucht was?

Integral und Grenzwert

Sei $f_n(x)=x/n$ auf $[0,1]$. Wegen

$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)|=1/n\to0$$

konvergiert $f_n$ gleichmäßig gegen 0. Daher

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x}{n}dx =\int_0^1\lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}dx=0.$$

Direkte Kontrolle:

$$\int_0^1\frac{x}{n}dx=\frac1{2n}\to0.$$

Warum punktweise nicht reicht

$f_n(x)=nx(1-x^2)^n$ konvergiert für jedes feste $x\in[0,1]$ gegen 0. Trotzdem können konzentrierte Spitzen einen relevanten Integralbeitrag tragen. Punktweise Konvergenz kontrolliert nicht, wie groß die Funktion an einem von n abhängigen Punkt wird.

Ableitungen

Aus $f_n\to f$ allein folgt nicht $f_n'\to f'$. Ein sicheres Schema ist:

1. Wähle einen Punkt $x_0$ mit konvergentem $f_n(x_0)$.
2. Zeige $f_n'\to g$ gleichmäßig.
3. Dann konvergiert $f_n$ gleichmäßig gegen ein differenzierbares f mit $f'=g$.

Fehlercheck

• Vor jedem Vertauschen den passenden Satz samt Voraussetzungen nennen.
• Gleichmäßigkeit auf dem konkret genannten Bereich prüfen.
• Randpunkte von Potenzreihen nach Ableitung oder Integration neu untersuchen.