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AnleitungAnalysisAnalysis 1

Vollständige Induktion, Definitionen und Gegenbeispiele.

Schreibe Quantoren, Voraussetzungen und Schlussrichtung sichtbar auf. So werden Induktionsbeweise und Wahr/Falsch-Aussagen kontrollierbar.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht
Lesezeit
18 Minuten
Titelbild: Vollständige Induktion, Definitionen und Gegenbeispiele.

Quantoren zuerst lesen

AussageZum Widerlegen genügt
für alle x gilt P(x)ein x mit nicht P(x)
es gibt ein x mit P(x)Nachweis, dass kein x P erfüllt
P impliziert QP ist wahr und Q ist falsch
genau ein xkein x oder mindestens zwei x

Vollständige Induktion

Zeige

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6. \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Anfang

Für n=1n=1:

1=1·2·36. 1=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}.

Schritt

Nimm die Formel für n an. Dann

RechnungSchritt
∑k=1n+1k2=∑k=1nk2+(n+1)2\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2letzten Summanden abtrennen
=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2Induktionsannahme
=(n+1)n(2n+1)+6(n+1)6=(n+1)\frac{n(2n+1)+6(n+1)}6ausklammern
=(n+1)2n2+7n+66=(n+1)\frac{2n^2+7n+6}{6}ausmultiplizieren
=(n+1)(n+2)(2n+3)6=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6faktorisieren

Das ist die behauptete Formel mit n+1n+1.

Gegenbeispiel mit vollständiger Prüfung

Behauptung: „Ist f'(x0)=0f'(x_0)=0, so hat f bei x0x_0 ein Extremum.“

Wähle f(x)=x3f(x)=x^3 und x0=0x_0=0.

PrüfungErgebnis
Voraussetzungf'(x)=3x2f'(x)=3x^2, also f'(0)=0f'(0)=0
Verhalten linksf(x)<0f(x)<0 für x<0x<0
Verhalten rechtsf(x)>0f(x)>0 für x>0x>0
Schlusskein Maximum und kein Minimum

Algebraische Grundstruktur

Für Polynomdivision, Körperrechnung und komplexe Zahlen gilt: erst die erlaubten Operationen und den betrachteten Zahlbereich nennen. Eine Gleichung kann in R\mathbb{R} unlösbar und in C\mathbb{C} lösbar sein.

Fehlercheck

  • Induktionsannahme nur für n, nicht schon für n+1n+1 verwenden.
  • Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen.
  • Umkehrung und Kontraposition einer Implikation nicht verwechseln.
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