Lagrange-Multiplikatoren bei Nebenbedingungen.

Gleichungssystem

Für die Nebenbedingung $g(x,y)=0$:

$$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),\qquad g(x,y)=0.$$

Die Regularitätsbedingung $\nabla g\neq0$ auf den betrachteten Punkten muss geprüft werden.

Beispiel

Extremiere $f(x,y)=xy$ unter $x^2+y^2=2$.

Keiner der beiden Werte x,y kann null sein, weil dann beide null wären und die Nebenbedingung verletzt wäre. Multiplikation der ersten beiden Gleichungen liefert

$$xy=4\lambda^2xy\quad\implies\quad\lambda=\pm1/2.$$

Für $\lambda=1/2$ gilt $x=y$, für $\lambda=-1/2$ gilt $x=-y$.

Die Kreislinie ist kompakt und f stetig; deshalb sind die größten und kleinsten Kandidaten globale Extrema.

Mehrere Nebenbedingungen

Bei $g_1=0$ und $g_2=0$ lautet der Ansatz

$$\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2.$$

Fehlercheck

• Nebenbedingung immer als zusätzliche Gleichung mitführen.
• Aus Division ausgeschlossene Fälle separat prüfen.
• Lagrange-Kandidaten durch Funktionswerte oder weitere Tests klassifizieren.