Riemann-Integral, Regelfunktionen und Hauptsatz.

Vom Rechteck zur Integralfunktion

Riemannsumme lesen

Für $f(x)=x$ auf $[0,1]$ mit rechten Stützstellen $k/n$:

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\frac1n =\frac1{n^2}\frac{n(n+1)}2 =\frac{n+1}{2n}\to\frac12.$$

Also ist $\int_0^1x\,dx=1/2$.

Hauptsatz – beide Richtungen

Ist f stetig und

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,$$

dann gilt $F'(x)=f(x)$.

Besitzt f eine Stammfunktion G, dann

$$\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a).$$

Mittelwertsatz für Integrale

Für stetiges f existiert $c\in[a,b]$ mit

$$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a).$$

Der mittlere Funktionswert ist daher

$$\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx.$$

Fehlercheck

• Ober- und Untergrenze in der richtigen Reihenfolge einsetzen.
• Bei variabler oberer Grenze Kettenregel beachten: $\frac d{dx}\int_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g'(x)$.
• Integrabilität und Existenz einer Stammfunktion sind unterschiedliche Aussagen.