Folgen: Grenzwert und Epsilon-Beweis formal aufschreiben.

Definition als Arbeitsauftrag

$$a_n\to a\quad\iff\quad\forall\epsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-a|<\epsilon.$$

Die Entdeckung läuft rückwärts; der Beweis wird vorwärts geschrieben.

Beispiel: Grenzwert mit Parameter

Zeige für $a_n=(4n+1)/(n+3)$ den Grenzwert 4.

Rückwärtsrechnung

Vorwärtsbeweis

Sei $\epsilon>0$. Wähle $N\in\mathbb{N}$ mit $N>11/\epsilon$. Für jedes $n\ge N$ gilt

$$\left|\frac{4n+1}{n+3}-4\right|=\frac{11}{n+3}\le\frac{11}{n}<\epsilon.$$

Also konvergiert $a_n$ gegen 4.

Eindeutigkeit des Grenzwerts

Angenommen, $a_n\to a$ und $a_n\to b$ mit $a\neq b$. Wähle $\epsilon=|a-b|/3$. Für große n gilt gleichzeitig

$$|a_n-a|<\epsilon,\qquad |a_n-b|<\epsilon.$$

Dann folgt

$$|a-b|\le|a-a_n|+|a_n-b|<2\epsilon=\frac{2}{3}|a-b|,$$

ein Widerspruch.

Formale Vorlage

1. „Sei $\epsilon>0$ beliebig.“
2. „Wähle $N=\ldots$.“
3. „Für alle $n\ge N$ gilt …“
4. Abstand vollständig abschätzen.
5. „Damit ist nach Definition $a_n\to a$.“

Fehlercheck

• $N$ darf von $\epsilon$, nicht von einem später frei gewählten n abhängen.
• Die letzte Ungleichung muss wirklich streng kleiner als $\epsilon$ sein.
• Grenzwertregeln nur auf bereits konvergente Teilfolgen anwenden.