Partialbruchzerlegung für rationale Integrale.

Vorprüfung

Für $P(x)/Q(x)$:

1. Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad? Dann Polynomdivision.
2. Nenner über den reellen Zahlen faktorisieren.
3. Ansatz für jeden Faktor aufstellen.
4. Koeffizienten bestimmen.
5. Teilbrüche integrieren.

Verschiedene lineare Faktoren

$$\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.$$

Damit

$$\int\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}dx =2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+C.$$

Mehrfacher Faktor

Für $(x-1)^2$ braucht der Ansatz beide Potenzen:

$$\frac{P(x)}{(x-1)^2(x+3)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+3}.$$

Irreduzibler quadratischer Faktor

Zu $x^2+1$ gehört ein linearer Zähler:

$$\frac{Ax+B}{x^2+1}.$$

Der Ax-Anteil führt über Substitution zu $\ln(x^2+1)$, der B-Anteil zu einer Arkustangens-Stammfunktion.

Fehlercheck

• Polynomdivision vor der Zerlegung.
• Bei mehrfachen Faktoren keine Zwischenpotenz auslassen.
• Logarithmus der linearen Faktoren mit Betrag schreiben.