Gradient und Hesse-Matrix: Extrema in mehreren Variablen.

Fester Rechenweg

1. Partielle Ableitungen berechnen.
2. $\nabla f=0$ als Gleichungssystem lösen.
3. Hesse-Matrix aufstellen.
4. An jedem kritischen Punkt Definitheit prüfen.
5. Minimum, Maximum oder Sattelpunkt benennen.

Beispiel mit vier Kandidaten

$$f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-4y^2.$$

Gradient

$$f_x=4x(x^2-1),\qquad f_y=4y(y^2-2).$$

Daraus

$$x\in\{0,-1,1\},\qquad y\in\{0,-\sqrt{2},\sqrt{2}\}.$$

Es entstehen neun kritische Punkte.

Hesse-Matrix

$$H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^2-4&0\\0&12y^2-8\end{pmatrix}.$$

Zweidimensionaler Determinantentest

Für $H=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$:

Fehlercheck

• Alle Lösungen des Gradientensystems bilden, nicht nur symmetrische Kandidaten.
• Hesse-Matrix am jeweiligen Punkt auswerten.
• Bei Determinante null andere Argumente oder höhere Terme verwenden.