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AnleitungAnalysisAnalysis 1

Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbar und linear.

Erkenne den Typ, wähle Variablentrennung oder integrierenden Faktor und setze die Anfangsbedingung erst nach der allgemeinen Lösung ein.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht
Lesezeit
18 Minuten
Titelbild: Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbar und linear.

Typ erkennen

FormMethode
y'=g(x)h(y)y'=g(x)h(y)Variablen trennen
y'+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)integrierender Faktor
y'=ay+by'=ay+bhomogen plus konstante partikuläre Lösung

Trennbare Gleichung

Löse y'=xyy'=xy mit y(0)=2y(0)=2.

RechnungSchritt
dy/dx=xydy/dx=xyAusgang
dy/y=xdxdy/y=x\,dxVariablen trennen; zunächst y≠0y\neq0
$\lny
y=Cex2/2y=Ce^{x^2/2}exponentieren
2=C2=CAnfangswert
y=2ex2/2y=2e^{x^2/2}Lösung

Die beim Teilen ausgeschlossene Nulllösung ist separat zu prüfen.

Lineare Gleichung

Löse y'-y=xy'-y=x.

Der integrierende Faktor ist

μ(x)=e∫-1dx=e-x. \mu(x)=e^{\int-1dx}=e^{-x}.

RechnungSchritt
e-xy'-e-xy=xe-xe^{-x}y'-e^{-x}y=xe^{-x}Gleichung multiplizieren
(e-xy)'=xe-x(e^{-x}y)'=xe^{-x}linke Seite erkennen
e-xy=∫xe-xdx+Ce^{-x}y=\int xe^{-x}dx+Cintegrieren
e-xy=-(x+1)e-x+Ce^{-x}y=-(x+1)e^{-x}+Cpartielle Integration
y=-(x+1)+Cexy=-(x+1)+Ce^xauflösen

Kontrolle

Setze die gefundene Funktion in die ursprüngliche Differentialgleichung ein. Eine bloße Umformung der Endform genügt nicht als Kontrolle.

Fehlercheck

  • Anfangsbedingung erst nach allgemeiner Lösung einsetzen.
  • Beim Teilen durch h(y) verlorene konstante Lösungen prüfen.
  • Integrierender Faktor enthält das Integral von p(x), nicht p(x) selbst.
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