AnleitungAnalysisAnalysis 1

Funktionen: injektiv, surjektiv und umkehrbar.

Definitionsmenge, Zielmenge und Bild sauber trennen, Injektivität formal zeigen und Umkehrfunktionen ohne Lücken bestimmen.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Vier Fragen vor jeder Rechnung

Frage	Bedeutung
Was ist die Definitionsmenge?	Welche Eingaben sind erlaubt?
Was ist die Zielmenge?	Wohin soll die Funktion abbilden?
Was ist das Bild?	Welche Werte werden tatsächlich getroffen?
Ist die Zuordnung eindeutig umkehrbar?	injektiv plus surjektiv

Für $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ , $f(x)=x^2$ :

Rechnung	Grund
nehme $f(x_1)=f(x_2)$ an	Injektivitätsansatz
$x_1^2=x_2^2$	Definition einsetzen
$x_1=x_2$ oder $x_1=-x_2$	Quadratgleichung
$x_1,x_2\ge0$	Definitionsmenge
$x_1=x_2$	negativer Fall ausgeschlossen

Auf ganz $\mathbb{R}$ wäre dieselbe Funktion nicht injektiv, weil $f(1)=f(-1)$ .

Sei $y\in[0,\infty)$ beliebig. Wähle $x=\sqrt{y}$ . Dann ist $x\in[0,\infty)$ und

$f(x)=x^2=(\sqrt{y})^2=y.$

Damit wird jedes Ziel erreicht.

Kontrolle:

$f^{-1}(f(x))=\sqrt{x^2}=x\quad\text{für }x\ge0.$

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