Reelle Zahlen, Betrag, Supremum und Vollständigkeit rechnen.

Begriffe in einer Zeile

Supremum vollständig zeigen

Für $M=\{3-2/n:n\ge1\}$ soll $\sup M$ bestimmt werden.

Also gilt $\sup M=3$. Ein Maximum existiert nicht, weil $3-2/n=3$ kein endliches $n$ erfüllt.

Betrag und Dreiecksungleichung

Aus $|x-2|\le3$ folgt sofort

$$-3\le x-2\le3\quad\implies\quad-1\le x\le5.$$

Für Abschätzungen ist oft die Dreiecksungleichung entscheidend:

$$|x+y|\le|x|+|y|.$$

Die umgekehrte Form folgt durch Umstellen:

$$|x-y|\ge\left||x|-|y|\right|.$$

Formale Schlussvorlage

Zuerst wurde gezeigt, dass $s$ eine obere Schranke von $M$ ist. Danach wurde für jedes $\epsilon>0$ ein $x\in M$ mit $s-\epsilon<x$ konstruiert. Folglich ist keine Zahl kleiner als $s$ obere Schranke und damit $s=\sup M$.

Fehlercheck

• Supremum und Maximum nicht gleichsetzen.
• Bei Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl das Zeichen umdrehen.
• Eine Annäherungsfolge allein beweist noch nicht, dass der Kandidat eine Schranke ist.