Zwischenwertsatz: Nullstellen zeigen und Umkehrfunktionen begründen.

Existenzschema für Nullstellen

Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$:

1. f ist auf $[a,b]$ stetig.
2. $f(a)$ und $f(b)$ haben verschiedene Vorzeichen.
3. Der Zwischenwertsatz liefert $c\in(a,b)$ mit $f(c)=0$.

Beispiel: genau eine Lösung

$$f(x)=e^x-2x-1\quad\text{auf }[1,2].$$

Für Eindeutigkeit reicht hier nicht sofort $f'>0$, denn $f'(x)=e^x-2$ ist auf $[1,2]$ positiv. Tatsächlich gilt $e^x\ge e>2$, also ist f streng wachsend. Es gibt genau eine Nullstelle.

Umkehrfunktion aus Monotonie

Eine stetige, streng monotone Funktion auf einem Intervall ist auf ihr Bild bijektiv und besitzt dort eine stetige Umkehrfunktion.

Für $f(x)=x^3+x$:

$$f'(x)=3x^2+1>0.$$

Also ist f streng wachsend. Da $f(x)\to\pm\infty$ für $x\to\pm\infty$, ist das Bild ganz $\mathbb{R}$.

Ableitung der Umkehrfunktion

Ist $y_0=f(x_0)$ und $f'(x_0)\neq0$, dann

$$(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}.$$

Man braucht $f^{-1}$ nicht explizit zu lösen: Für $f(x)=x^3+x$ und $y_0=2$ gilt $x_0=1$, also

$$(f^{-1})'(2)=\frac1{3\cdot1^2+1}=\frac14.$$

Fehlercheck

• Vorzeichenwechsel zeigt Existenz, nicht Eindeutigkeit.
• Eindeutigkeit kann aus strenger Monotonie oder Rolle folgen.
• Bei der inversen Ableitung wird am zugehörigen Urbild $x_0$ ausgewertet.