Satz von Rolle und Mittelwertsatz in Beweisen einsetzen.

Voraussetzungen zuerst

Für Rolle auf $[a,b]$:

• f stetig auf $[a,b]$,
• f differenzierbar auf $(a,b)$,
• $f(a)=f(b)$.

Dann existiert $c\in(a,b)$ mit $f'(c)=0$.

Der Mittelwertsatz ersetzt die letzte Voraussetzung durch

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Höchstens k Nullstellen

Hat f auf einem Intervall $k+1$ verschiedene Nullstellen, dann besitzt $f'$ nach Rolle mindestens k verschiedene Nullstellen. Wiederholtes Anwenden überträgt die Aussage auf höhere Ableitungen.

Beispiel: Ist $f'''(x)>0$ überall, kann $f'''$ keine Nullstelle besitzen. Daher kann f höchstens drei verschiedene Nullstellen haben.

Abschätzung aus beschränkter Ableitung

Ist $|f'(x)|\le M$ zwischen x und y, so liefert der Mittelwertsatz

$$f(x)-f(y)=f'(c)(x-y).$$

Daraus folgt

$$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|.$$

Eindeutigkeit einer Nullstelle

Angenommen, f hätte zwei Nullstellen $x_1<x_2$. Rolle liefert $c\in(x_1,x_2)$ mit $f'(c)=0$. Wenn zuvor $f'(x)>0$ auf dem ganzen Intervall gezeigt wurde, entsteht ein Widerspruch.

Fehlercheck

• Das Intervall und offene/geschlossene Enden angeben.
• Rolle zeigt die Existenz eines Zwischenpunkts, nicht seinen expliziten Wert.
• Bei Ungleichungen Betrag und Schranke der Ableitung sauber einsetzen.