Funktionenfolgen: punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

Quantoren unterscheiden

Punktweise:

$$\forall x\ \forall\epsilon>0\ \exists N(x,\epsilon)\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon.$$

Gleichmäßig:

$$\forall\epsilon>0\ \exists N(\epsilon)\ \forall x\ \forall n\ge N:\ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon.$$

Bei gleichmäßiger Konvergenz darf N nicht von x abhängen.

Punktweisen Grenzwert finden

Auf $[0,1]$ sei $f_n(x)=x^n$.

Also ist

$$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1\\1,&x=1.\end{cases}$$

Gleichmäßigkeit widerlegen

Jedes $f_n$ ist stetig, die Grenzfunktion ist bei 1 unstetig. Ein gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen wäre stetig. Also ist die Konvergenz nicht gleichmäßig.

Alternativ wähle $x_n=1-1/n$. Dann

$$|f_n(x_n)-f(x_n)|=(1-1/n)^n\to e^{-1}\neq0.$$

Gleichmäßigkeit mit Supremum zeigen

Auf $[0,2]$ sei $g_n(x)=x/(n+x)$.

Fehlercheck

• Zuerst punktweisen Grenzwert bestimmen, danach Gleichmäßigkeit prüfen.
• Ein einzelnes festes x widerlegt Gleichmäßigkeit meist nicht; gesucht ist häufig eine Folge $x_n$.
• Gleichmäßige Konvergenz bewahrt Stetigkeit, punktweise nicht.