Uneigentliche Integrale und Integralkriterium.

Jede Problemstelle isolieren

Uneigentlich wird ein Integral durch

• eine unendliche Grenze,
• eine unbeschränkte Funktion am Rand,
• eine Singularität im Inneren.

Bei einer inneren Singularität muss das Integral aufgeteilt werden; beide Teile müssen konvergieren.

p-Integrale als Referenz

$$\int_1^{\infty}\frac1{x^p}dx$$

konvergiert genau für $p>1$.

Nahe 0 gilt umgekehrt:

$$\int_0^1\frac1{x^p}dx$$

konvergiert genau für $p<1$.

Singularität im Inneren

Untersuche $\int_{-1}^{1}1/\sqrt{|x|}\,dx$. Teile bei 0:

$$\int_{-1}^{0}\frac1{\sqrt{-x}}dx+\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}dx.$$

Wegen Symmetrie reicht der rechte Teil:

Integralkriterium für Reihen

Ist f positiv, stetig und fallend und gilt $a_n=f(n)$, dann haben

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\quad\text{und}\quad\int_1^{\infty}f(x)dx$$

dasselbe Konvergenzverhalten.

Fehlercheck

• Das Symbol unendlich niemals in eine Stammfunktion „einsetzen“; immer Grenzwert schreiben.
• Bei jeder inneren Singularität zwei einseitige Grenzwerte.
• Ein endlicher Hauptwert ersetzt nicht die getrennte Konvergenz beider Seiten.