Stetigkeit mit Folgenkriterium und Epsilon-Delta prüfen.

Drei Wege zur Stetigkeit

Nahtstelle mit Parameter

$$f(x)=\begin{cases}ax+2,&x<1\\x^2+a,&x\ge1\end{cases}$$

Stetigkeit bei 1 verlangt

Die Gleichung $a+2=1+a$ ist unmöglich. Für keinen Parameter a ist die Funktion bei 1 stetig.

Direkter Epsilon-Delta-Beweis

Zeige Stetigkeit von $f(x)=x^2$ bei $x_0=2$.

$$|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

Beschränke zuerst die zweite Klammer. Aus $|x-2|<1$ folgt $1<x<3$ und damit $|x+2|<5$. Somit

$$|x^2-4|<5|x-2|.$$

Wähle

$$\delta=\min\left(1,\frac{\epsilon}{5}\right).$$

Dann folgt aus $|x-2|<\delta$ sowohl die Hilfsschranke als auch $|x^2-4|<\epsilon$.

Folgenkriterium zum Widerlegen

Für $f(x)=1$ bei rationalem x und $f(x)=0$ bei irrationalem x führen eine rationale und eine irrationale Folge gegen denselben Punkt, aber die Funktionswerte haben verschiedene Grenzwerte. Daher ist f dort nicht stetig.

Fehlercheck

• Linksgrenzwert, Rechtsgrenzwert und Funktionswert sind drei getrennte Größen.
• Delta darf von Epsilon und dem festen Punkt, nicht vom variablen x abhängen.
• Eine Funktion kann trotz Definitionslücke stetig fortsetzbar sein.