Mehrdimensionale Differenzierbarkeit, Kettenregel und Taylorformel.

Partielle Ableitungen sind nicht genug

Differenzierbarkeit von $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ in a bedeutet eine lineare Abbildung A mit

$$\frac{\|f(a+h)-f(a)-Ah\|}{\|h\|}\to0.$$

Die Jacobi-Matrix ist der Kandidat für A. Existieren partielle Ableitungen nur punktweise, ist die Restbedingung noch nicht automatisch erfüllt.

Jacobi-Matrix

Für

$$f(x,y)=(x^2y,e^{x+y})$$

gilt

$$J_f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy&x^2\\e^{x+y}&e^{x+y}\end{pmatrix}.$$

Mehrdimensionale Kettenregel

Sind $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ und $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, dann

$$J_{g\circ f}(x)=J_g(f(x))J_f(x).$$

Die Reihenfolge folgt dem Weg der Eingabe: zuerst $J_f$, danach $J_g$; in der Matrixmultiplikation steht $J_g$ links.

Taylor bis zur zweiten Ordnung

Für skalare f:

$$f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\frac12h^TH_f(a)h+R(h).$$

Der lineare Term beschreibt die Tangentialebene, der quadratische Term die lokale Krümmung.

Praktisches Differenzierbarkeitskriterium

Existieren alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung und sind sie dort stetig, dann ist f differenzierbar. Das ist hinreichend, aber nicht notwendig.

Fehlercheck

• Richtungsableitungen in allen Richtungen beweisen allein keine Differenzierbarkeit.
• Dimensionen der Jacobi-Matrizen vor der Multiplikation prüfen.
• Im quadratischen Taylorterm Faktor $1/2$ und beide h-Vektoren nicht vergessen.