OnTUBSDeine Online-Tools
Web-App öffnen

AnleitungAnalysisAnalysis 1

Integrale mit Substitution und partieller Integration berechnen.

Erkenne innere Ableitungen und Produktstrukturen und schreibe jeden Variablenwechsel mit neuen Grenzen oder sauberer Rücksubstitution auf.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht
Lesezeit
18 Minuten
Titelbild: Integrale mit Substitution und partieller Integration berechnen.

Methode in zehn Sekunden wählen

IntegrandMethode
f(g(x))g'(x)f(g(x))g'(x)Substitution u=g(x)u=g(x)
Polynom mal exp, sin, cos oder logpartielle Integration
rationale FunktionPolynomdivision/Partialbrüche
Potenz einer linearen Klammerdirekte Substitution

Substitution vollständig

Berechne

∫02xx2+1dx. \int_0^2\frac{x}{x^2+1}\,dx.

SchrittRechnung
Wahlu=x2+1u=x^2+1
Differentialdu=2xdxdu=2x\,dx, also xdx=du/2x\,dx=du/2
Grenzenx=0↦u=1x=0\mapsto u=1, x=2↦u=5x=2\mapsto u=5
Integral12∫151udu\frac12\int_1^5\frac1u\,du
Stammfunktion12[lnu]15\frac12[\ln u]_1^5
Ergebnis12ln5\frac12\ln5

Partielle Integration zweimal

Berechne ∫x2exdx\int x^2e^x\,dx.

RechnungSchritt
x2ex-∫2xexdxx^2e^x-\int2xe^x\,dxerste partielle Integration
∫2xexdx=2xex-∫2exdx\int2xe^x\,dx=2xe^x-\int2e^x\,dxzweite partielle Integration
=2xex-2ex=2xe^x-2e^xGrundintegral
Gesamtergebnis x2ex-2xex+2ex+Cx^2e^x-2xe^x+2e^x+Ceinsetzen
=ex(x2-2x+2)+C=e^x(x^2-2x+2)+Causklammern

Bestimmte Integrale

Entweder Grenzen während der partiellen Integration beibehalten oder zuerst eine Stammfunktion bilden. Beim Substituieren die Grenzen sofort ändern; dann ist keine Rücksubstitution nötig.

Fehlercheck

  • Bei Substitution Differentialfaktor und Grenzen gemeinsam ändern.
  • Integrationskonstante nur beim unbestimmten Integral.
  • Ergebnis durch Ableiten kontrollieren.
Weiterlesen
ANALYSIS · GESAMTÜBERSICHT

Analysis: Rechenwege, Kriterien und Aufgabentypen auf einen Blick.

Breite Analysis-Lernübersicht mit Folgen, Reihen, Stetigkeit, Ableitungen, Integralen, Differentialgleichungen und Rechenschemata.

 ANALYSIS 1

Partialbruchzerlegung für rationale Integrale.

Rationale Funktionen mit Partialbruchzerlegung integrieren: Polynomdivision, Nennerfaktoren, Ansatz, Koeffizientenvergleich und Stammfunktion.

WISSEN DIREKT ANWENDEN

Deine Online-Tools.
Ein gemeinsamer Ort.

Öffne OnTUBS im Browser oder entdecke weitere Anleitungen und Hintergrundartikel.