AnleitungAnalysisAnalysis 1

Alternierende Reihen: Leibniz, absolute und bedingte Konvergenz.

Trenne konsequent die ursprüngliche Reihe von der Betragsreihe und entscheide so zwischen absoluter, bedingter und fehlender Konvergenz.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Drei mögliche Ergebnisse

Prüfung	Ergebnis
die Betragsreihe konvergiert	absolut konvergent
die Reihe konvergiert, die Betragsreihe divergiert	bedingt konvergent
$\sum a_n$ divergiert	nicht konvergent

Für $\sum(-1)^nb_n$ prüfe:

Dann konvergiert die alternierende Reihe.

Untersuche

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n)}.$

Prüfung	Rechnung
Positivität	$b_n=1/\ln(n)>0$ für $n\ge2$
Monotonie	$\ln(n)$ wächst, also $1/\ln(n)$ fällt
Nullfolge	$\ln(n)\to\infty$ , daher $b_n\to0$
Leibniz	ursprüngliche Reihe konvergiert

Für absolute Konvergenz betrachten wir $\sum1/\ln(n)$ . Für große n gilt $\ln(n)\le n$ und damit

$\frac1{\ln(n)}\ge\frac1n.$

Die harmonische Reihe divergiert; also divergiert die Betragsreihe nach dem Minorantenkriterium. Die ursprüngliche Reihe ist bedingt konvergent.

Für die Summe s und die N-te Partialsumme gilt

$|s-S_N|\le b_{N+1}.$

Will man den Fehler kleiner als $10^{-3}$ , genügt die Wahl $b_{N+1}<10^{-3}$ .

Ein wechselndes Vorzeichen allein genügt nicht; Betrag muss gegen null gehen und schließlich fallen.
Absolute Konvergenz wird an der Betragsreihe, nicht am Vorzeichenmuster entschieden.
Für endliche Änderungen am Anfang bleibt das Konvergenzverhalten gleich.

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