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AnleitungAnalysisAnalysis 1

Reihen: Quotienten- und Wurzelkriterium richtig anwenden.

Fakultäten, Exponentialterme und n-te Potenzen verraten, welches Kriterium die Rechnung in wenigen Schritten vereinfacht.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Veröffentlicht
Lesezeit
15 Minuten
Titelbild: Reihen: Quotienten- und Wurzelkriterium richtig anwenden.

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StrukturKriterium
Fakultät, Produkt, ExponentialtermQuotientenkriterium
gesamter Term hoch nWurzelkriterium
Grenzwert gleich 1anderes Kriterium nötig

Beide Kriterien werden auf Beträge angewendet und zeigen daher absolute Konvergenz.

Quotientenkriterium

Untersuche an=n2/4na_n=n^2/4^n.

RechnungSchritt
an+1an=(n+1)24n+14nn2\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}}\frac{4^n}{n^2}Quotient bilden
=14(1+1/n)2=\frac14(1+1/n)^2kürzen
→1/4<1\to1/4<1Grenzwert
∑an\sum a_n konvergiert absolutKriterium

Wurzelkriterium

Untersuche

∑n=1∞(2n+15n-2)n. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{5n-2}\right)^n.

RechnungSchritt
Der Betrag von ana_n hoch 1/n1/n ist 2n+15n-2\frac{2n+1}{5n-2}n-te Wurzel hebt Potenz auf
=2+1/n5-2/n=\frac{2+1/n}{5-2/n}durch n teilen
→2/5<1\to2/5<1Grenzwert
Reihe konvergiert absolutWurzelkriterium

Was bei Grenzwert 1 passiert

Für an=1/na_n=1/n liefern beide Kriterien den Wert 1, obwohl die Reihe divergiert. Für an=1/n2a_n=1/n^2 liefern sie ebenfalls 1, obwohl die Reihe konvergiert.

L=1⇒keine Aussage. L=1\quad\implies\quad\text{keine Aussage}.

Formale Schlussvorlage

Der Grenzwert des Betragsquotienten existiert und ist L<1L<1. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Betragsreihe und damit die gegebene Reihe absolut.

Fehlercheck

  • Quotienten erst vollständig kürzen, dann Grenzwert bilden.
  • Das Kriterium entscheidet bei L>1L>1 Divergenz; bei L=1L=1 bleibt es offen.
  • Nullstellen einzelner Anfangsterme gegebenenfalls separat behandeln.
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