Teilfolgen, Cauchy-Kriterium und Bolzano-Weierstraß.

Wann welches Werkzeug?

Teilfolgenbeweis

Für $a_n=\cos(n\pi)$ gilt $a_n=(-1)^n$.

$$a_{2k}=1\to1,qquad a_{2k+1}=-1\to-1.$$

Wäre $(a_n)$ konvergent, müsste jede Teilfolge denselben Grenzwert besitzen. Das ist unmöglich.

Cauchy-Kriterium

Eine Folge ist Cauchy, wenn

$$\forall\epsilon>0\ \exists N\ \forall m,n\ge N:\ |a_n-a_m|<\epsilon.$$

Für $a_n=1/n$ und $m,n\ge N$:

$$\left|\frac1n-\frac1m\right|\le\frac1n+\frac1m\le\frac2N.$$

Wähle $N>2/\epsilon$. Dann ist die Cauchy-Bedingung erfüllt.

Bolzano-Weierstraß richtig lesen

Aus „beschränkt“ folgt nicht Konvergenz. Es folgt nur:

$$\text{beschränkte Folge}\quad\implies\quad\text{mindestens eine konvergente Teilfolge}.$$

Für die Gesamtkonvergenz muss zusätzlich gezeigt werden, dass alle möglichen Häufungswerte zusammenfallen oder die Folge etwa monoton ist.

Fehlercheck

• Eine Teilfolge behält die Reihenfolge der Indizes bei.
• Eine konvergente Teilfolge beweist nicht die Konvergenz der ganzen Folge.
• Beim Cauchy-Beweis müssen m und n gleichzeitig beliebig groß sein.