Taylorpolynom, Taylorreihe und Restglied berechnen.

Taylorpolynom als Bauplan

Um den Entwicklungspunkt $x_0$:

$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.$$

Beispiel: $\ln x$ um $x0=1$

Damit

$$T_3(x)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}.$$

Lagrange-Restglied

Für ein $\xi$ zwischen x und $x_0$:

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

Zum Abschätzen wird nicht $\xi$ gesucht, sondern eine Schranke M für die nächste Ableitung:

$$|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}.$$

Grenzwerte mit Taylor

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$

Mit $e^x=1+x+x^2/2+O(x^3)$:

$$\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{x^2/2+O(x^3)}{x^2}=\frac12+O(x)\to\frac12.$$

Fehlercheck

• Entwicklungspunkt nicht automatisch 0 setzen.
• Im k-ten Term steht die k-te Ableitung geteilt durch $k!$.
• Taylorpolynom und unendliche Taylorreihe unterscheiden.