Rekursive Folgen: Beschränktheit, Monotonie und Grenzwert.

Das feste Vier-Schritte-Schema

1. Invarianter Bereich: $a_n\in I\implies a_{n+1}\in I$.
2. Monotonie: Vorzeichen von $a_{n+1}-a_n$ oder Monotonie der Rekursion.
3. Beschränktheit: passende obere oder untere Schranke.
4. Fixpunkt: erst nach bewiesener Konvergenz den Grenzwert einsetzen.

Beispiel

Sei $a_1=1$ und

$$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{3}{a_n}\right).$$

Positivität und untere Schranke

Für $a_n>0$ gilt nach der quadratischen Mittelabschätzung

$$a_{n+1}=\frac{a_n+3/a_n}{2}\ge\sqrt{a_n\cdot3/a_n}=\sqrt{3}.$$

Ab $n=2$ liegt die Folge also oberhalb von $\sqrt{3}$.

Monotonie

Für $a_n\ge\sqrt{3}$:

Die Folge ist ab $n=2$ monoton fallend und durch $\sqrt{3}$ nach unten beschränkt.

Grenzwert

Damit existiert $L$. Wegen $L>0$ darf die Rekursion stetig übergehen:

$$L=\frac12\left(L+\frac3L\right)$$

$$2L^2=L^2+3\quad\implies\quad L^2=3\quad\implies\quad L=\sqrt{3}.$$

Formale Schlussvorlage

Die Folge ist ab Index … monoton … und durch … beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert sie. Bezeichnet $L$ ihren Grenzwert, liefert die stetige Rekursionsfunktion die Fixpunktgleichung … . Von deren Lösungen ist nur … mit dem zuvor bewiesenen Bereich vereinbar.

Fehlercheck

• Fixpunktlösungen sind nur Kandidaten, solange Konvergenz nicht bewiesen ist.
• Beim Quadrieren Positivität oder Vorzeichen sichern.
• Monotonie darf ab einem späteren Index beginnen; das reicht.