AnleitungAnalysisAnalysis 1

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung lösen.

Übersetze die homogene Gleichung in ein charakteristisches Polynom und ergänze für die rechte Seite einen passenden Ansatz.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten

Für

$y''-3y'+2y=0$

verwende $y=e^{rx}$ . Das charakteristische Polynom ist

$r^2-3r+2=(r-1)(r-2).$

Zwei verschiedene reelle Wurzeln liefern

$y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}.$

Wurzeln	Lösungsbausteine
verschieden reell $r_1,r_2$	$e^{r_1x}$ , $e^{r_2x}$
doppelte Wurzel r	$e^{rx}$ , $xe^{rx}$
komplex $\alpha\pm i\beta$	$e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ , $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$

Für

$y''-3y'+2y=e^{3x}$

ist $3$ keine charakteristische Wurzel. Ansatz $y_p=Ae^{3x}$ :

Gesamtlösung:

$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+\frac12e^{3x}.$

Ist der Ansatz bereits Teil der homogenen Lösung, wird er mit x multipliziert; bei höherer Vielfachheit entsprechend mit einer höheren x-Potenz.

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