AnleitungAnalysisAnalysis 1

Fourierreihen: Koeffizienten, Symmetrie und Konvergenz.

Prüfe zuerst Gerade- oder Ungerade-Symmetrie und berechne danach nur die tatsächlich benötigten Fourierkoeffizienten.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Standardform auf $[-\pi,\pi]$

$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)).$

$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.$

f	Folgerung
gerade	alle $b_n=0$ , Kosinusreihe
ungerade	$a_0=0$ und alle $a_n=0$ , Sinusreihe

f ist ungerade. Daher braucht man nur $b_n$ :

$b_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}x\sin(nx)dx.$

Partielle Integration:

Rechnung	Schritt
$u=x$ , $dv=\sin(nx)dx$	Wahl
$du=dx$ , $v=-\cos(nx)/n$	ableiten und integrieren
Integral $=[-x\cos(nx)/n]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos(nx)/n\,dx$	Formel
$=-\pi(-1)^n/n$	zweiter Term verschwindet
$b_n=2(-1)^{n+1}/n$	Faktor einsetzen

Damit

$x\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin(nx).$

An einer Sprungstelle konvergiert die Fourierreihe unter üblichen Regularitätsbedingungen gegen den Mittelwert der einseitigen Grenzwerte.

Periode und Integrationsintervall zuerst festlegen.
Symmetrie vor jeder Integration prüfen.
Das Symbol der Fourierdarstellung nicht ohne Konvergenzaussage als punktweise Gleichheit lesen.

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