Parameterintegrale und Doppelintegrale über Gebiete.

Doppelintegral als iteriertes Integral

Für das Rechteck $[0,1]\times[0,2]$:

$$\int_0^1\int_0^2(x+y)\,dy\,dx.$$

Nichtrechteckiges Gebiet

Für das Dreieck $D=\{(x,y):0\le x\le1,0\le y\le x\}$:

$$\iint_D f(x,y)dA=\int_0^1\int_0^x f(x,y)dy\,dx.$$

Die innere Grenze darf von der äußeren Variablen abhängen.

Reihenfolge wechseln

Dasselbe Dreieck lässt sich auch beschreiben durch

$$0\le y\le1,qquad y\le x\le1.$$

Dann

$$\int_0^1\int_y^1 f(x,y)dx\,dy.$$

Parameterintegral ableiten

Für

$$F(t)=\int_0^1 e^{tx}dx$$

gilt unter passenden Stetigkeits- und Majorantenvoraussetzungen

$$F'(t)=\int_0^1 xe^{tx}dx.$$

Fehlercheck

• Gebiet skizzieren und jede Grenze mit einer geometrischen Kante verbinden.
• Innere Variable zuerst integrieren; andere Variable dabei konstant behandeln.
• Ableitung unter dem Integral nicht ohne Regularitäts- oder Dominanzbedingung vertauschen.