Vektoren beschreiben geordnete Zahlenlisten, Matrizen ordnen mehrere solcher Informationen rechteckig an. Besonders nützlich werden beide Begriffe, wenn ein lineares Gleichungssystem kompakt notiert und mit immer gleichen Umformungen gelöst werden soll.

Das Gauß-Verfahren verändert die Schreibweise eines Gleichungssystems, aber nicht seine Lösungsmenge.

Vektoren und Matrizen richtig lesen

Ein Vektor im dreidimensionalen reellen Raum hat beispielsweise die Form

$$\vec{x} = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3.$$

Die Position eines Eintrags ist Teil seiner Bedeutung. Zwei Vektoren dürfen nur komponentenweise addiert werden, wenn sie dieselbe Dimension besitzen. Für $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ gilt

$$\vec{x}+\vec{y}=\begin{pmatrix}x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \ldots \\ x_n+y_n\end{pmatrix}.$$

Eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ besitzt $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Multipliziert man sie mit einem Vektor aus $\mathbb{R}^n$, entsteht ein Vektor aus $\mathbb{R}^m$.

Vom Gleichungssystem zur Matrix

Betrachte das System

$$2x+y=5, \qquad x-y=1.$$

Die Koeffizienten bilden die Matrix $A$, die Unbekannten den Vektor $\vec{x}$ und die rechten Seiten den Vektor $\vec{b}$:

$$ A\vec{x}=\vec{b}, \qquad \begin{pmatrix}2 & 1 \ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \ y\end

\begin{pmatrix}5 \ 1\end{pmatrix}. $$

Für das Gauß-Verfahren schreibt man die erweiterte Koeffizientenmatrix. Der senkrechte Strich trennt nur zur Orientierung Koeffizienten und rechte Seite:

$$\begin{pmatrix}2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}.$$

Das Gauß-Verfahren Schritt für Schritt

Erlaubt sind drei elementare Zeilenumformungen: Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Schritt 1: Eine einfache erste Zeile wählen

Wir vertauschen die beiden Zeilen:

$$\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 5\end{pmatrix}.$$

Schritt 2: Den Eintrag darunter eliminieren

Von der zweiten Zeile ziehen wir das Doppelte der ersten ab. Dadurch wird der erste Eintrag der zweiten Zeile null:

$$\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 3\end{pmatrix}.$$

Die zweite Zeile bedeutet $3y=3$, also $y=1$. In der ersten Gleichung folgt dann $x-y=1$ und damit $x=2$.

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}.$$

Wann gibt es keine oder mehrere Lösungen?

Eine Zeile der Form

$$\begin{pmatrix}0 & 0 & c\end{pmatrix}, \qquad c\neq0,$$

steht für den Widerspruch $0=c$. Dann besitzt das System keine Lösung. Entsteht dagegen eine vollständige Nullzeile und bleiben freie Variablen übrig, gibt es unendlich viele Lösungen.

Probe und typische Fehler

Setze das Ergebnis immer in die ursprünglichen Gleichungen ein. Im Beispiel gilt $2\cdot2+1=5$ und $2-1=1$. Beide Gleichungen sind erfüllt.

• Beim Übertragen der Koeffizienten auch fehlende Variablen mit Koeffizient null notieren.
• Eine Zeilenumformung stets auf die gesamte Zeile einschließlich rechter Seite anwenden.
• Zeilen nicht durch null teilen.
• Freie Variablen in der Lösungsmenge ausdrücklich parametrisieren.

Fazit

Die Matrixschreibweise trennt Struktur und Rechenarbeit sauber. Das Gauß-Verfahren führt jedes lineare Gleichungssystem mit wenigen erlaubten Operationen in eine Form, aus der Anzahl und Gestalt der Lösungen direkt abgelesen werden können.