AnleitungAnalysisAnalysis 1

Rotationsvolumen und Bogenlänge mit Integralen.

Übersetze die Geometrie zuerst in Radius, Querschnitt oder Geschwindigkeitsbetrag und integriere erst danach.

Tilo BehnkeGründer und Entwickler von OnTUBS

Geometrie zuerst

Größe	Integrand
Fläche unter f	$f(x)$
Rotationsvolumen um x-Achse	$\pi f(x)^2$
Volumen mit Außen- und Innenradius	$\pi(R(x)^2-r(x)^2)$
Bogenlänge eines Graphen	$\sqrt{1+f'(x)^2}$

Rotiere $f(x)=x$ auf $[0,2]$ um die x-Achse.

Für $f(x)=x^2/2$ auf $[0,1]$ gilt $f'(x)=x$ . Daher

$L=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx.$

Schon der korrekte Aufbau verlangt: Parametrisierung oder Graphform, Ableitung, Geschwindigkeitsbetrag, Grenzen.

Für die Mantelfläche um die x-Achse:

$A=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$

bei nichtnegativem Radius f.

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