Exponentialfunktion, Sinus und Kosinus aus Potenzreihen.

Drei Grundreihen

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$

Alle drei Reihen besitzen unendlichen Konvergenzradius.

Näherung mit wenigen Termen

Für $x=0.2$:

Der erste ausgelassene Term liefert bei einer alternierenden Reihe direkt eine Fehlerabschätzung; bei $e^x$ nutzt man ein Taylorrestglied.

Gerade und ungerade Struktur

Aus den Potenzen folgt sofort

$$\cos(-x)=\cos x,qquad \sin(-x)=-\sin x.$$

Kosinus enthält nur gerade, Sinus nur ungerade Potenzen.

Komplexe Exponentialfunktion

Durch Zusammenfassen der Reihen entsteht

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$

Damit folgt beispielsweise

$$e^{i\pi}+1=0.$$

Standardgrenzwerte

Die Reihen liefern ohne L’Hospital:

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\ldots\to1$$

und

$$\frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\ldots\to1.$$

Fehlercheck

• Fakultät und Potenzindex sorgfältig koppeln.
• Sinus beginnt mit x, Kosinus mit 1.
• Eine endliche Taylor-Näherung ist nicht automatisch die ganze Funktion; Fehler kontrollieren.