Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.

Ein Eigenvektor zeigt eine Richtung, die durch eine lineare Abbildung nicht gedreht wird. Die Abbildung darf diesen Vektor strecken, stauchen oder umkehren. Der zugehörige Faktor heißt Eigenwert.

Was bedeuten Eigenwert und Eigenvektor?

Für eine quadratische Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ist ein Vektor $\vec{v}\neq\vec{0}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, wenn

$$A\vec{v}=\lambda\vec{v}.$$

Die Gleichung lässt sich umstellen:

$$(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}.$$

Damit ein Vektor ungleich null diese Gleichung erfüllt, muss die Matrix $A-\lambda I$ singulär sein. Genau deshalb sucht man Nullstellen der Determinante.

Das charakteristische Polynom aufstellen

Das charakteristische Polynom ist

$$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).$$

Betrachte die Matrix

$$A=\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}.$$

Dann gilt

$$A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix}$$

und für eine $2\times2$-Matrix

$$p_A(\lambda)=(4-\lambda)(3-\lambda)-2 =\lambda^2-7\lambda+10.$$

Eigenwerte als Nullstellen berechnen

Das Polynom zerfällt in Faktoren:

$$\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5).$$

Also sind die Eigenwerte $\lambda_1=2$ und $\lambda_2=5$.

Eigenwerte sind Zahlen. Eigenvektoren sind Vektoren ungleich null. Beide Begriffe dürfen bei der Rechnung nicht vertauscht werden.

Die Eigenvektoren bestimmen

Eigenraum zu λ = 2

Wir lösen $(A-2I)\vec{v}=\vec{0}$:

$$\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}.$$

Aus $2v_1+v_2=0$ folgt $v_2=-2v_1$. Mit einem freien Parameter $t\in\mathbb{R}$ erhält man

$$\vec{v}=t\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}, \qquad t\neq0.$$

Eigenraum zu λ = 5

Für den zweiten Eigenwert lösen wir

$$\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}.$$

Es folgt $v_2=v_1$ und damit

$$\vec{v}=t\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, \qquad t\neq0.$$

Das Ergebnis durch Einsetzen prüfen

Für $\lambda=5$ und $\vec{v}=(1,1)$ gilt

$$\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 \\ 5\end{pmatrix} =5\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}.$$

Die Probe erfüllt also exakt die Eigenwertgleichung.

Häufige Fehler vermeiden

• Das charakteristische Polynom konsistent als $\det(A-\lambda I)$ oder $\det(\lambda I-A)$ berechnen.
• Nach dem Eigenwert noch den Eigenraum bestimmen; eine Nullstelle allein ist kein Eigenvektor.
• Den Nullvektor aus der Menge der Eigenvektoren ausschließen.
• Bei mehrfachen Eigenwerten die Dimension des Eigenraums gesondert prüfen.

Fazit

Die Rechnung folgt immer derselben Kette: charakteristisches Polynom bilden, Nullstellen bestimmen, für jeden Eigenwert ein homogenes Gleichungssystem lösen und das Ergebnis einsetzen. Die geometrische Idee bleibt dabei sichtbar: Eigenvektoren markieren Richtungen, die die Abbildung beibehält.