Cauchy-Produkt, Dezimaldarstellung und abzählbare Mengen.

Cauchy-Produkt als Faltung

Für $\sum a_n$ und $\sum b_n$ hat das Produkt die Koeffizienten

$$c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.$$

Endliche Koeffizienten berechnen

Seien $a_n=1$ und $b_n=2^n$.

Allgemein gilt $c_n=2^{n+1}-1$.

Für die Gleichheit von Produktsumme und Produkt der Summen braucht man geeignete Voraussetzungen, etwa absolute Konvergenz beider Reihen.

Ziffernfolgen als Reihen

Eine Dezimaldarstellung $0,d_1d_2d_3\ldots$ steht für

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d_n}{10^n},\qquad d_n\in\{0,1,\ldots,9\}.$$

Beispiel:

$$0,375=\frac3{10}+\frac7{100}+\frac5{1000}.$$

Periodische Darstellungen sind geometrische Reihen. Für $0,\overline{27}$:

$$\frac{27}{100}+\frac{27}{100^2}+\frac{27}{100^3}+\ldots =\frac{27/100}{1-1/100}=\frac3{11}.$$

Eindeutigkeitsrand

Manche Zahlen besitzen zwei Darstellungen, etwa eine endliche und eine mit unendlich vielen Neunen. Das ist eine Darstellungsmehrdeutigkeit, keine zweite reelle Zahl.

Fehlercheck

• Beim Cauchy-Produkt läuft k von 0 bis n; der zweite Index ist $n-k$.
• Formales Ausmultiplizieren ersetzt keine Konvergenzvoraussetzung.
• Bei Basis b steht im Nenner $b^n$ und jede Ziffer liegt zwischen 0 und $b-1$.