Ableitungsregeln: Produktregel und Kettenregel sicher anwenden.

Die Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion. Rechenregeln machen ihre Bestimmung schnell – zuverlässig werden sie aber erst, wenn die Struktur eines Terms vor der Rechnung erkannt wird.

Die Ableitung als Grenzwert

Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ ist definiert durch

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

sofern dieser Grenzwert existiert. Der Bruch ist die Steigung einer Sekante; im Grenzübergang wird daraus die Tangentensteigung.

Für $f(x)=x^2$ ergibt sich

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\frac{2xh+h^2}{h} =2x+h.$$

Mit $h\to0$ folgt $f'(x)=2x$.

Die wichtigsten Grundregeln

Für Konstanten $c$ und differenzierbare Funktionen $f,g$ gelten:

$$(c)'=0, \qquad (x^n)'=nx^{n-1},$$

$$(f+g)'=f'+g', \qquad (cf)'=cf'.$$

Die Potenzregel gilt in ihrer elementaren Form für ganzzahlige Exponenten; weitergehende Definitionsbereiche müssen gesondert betrachtet werden.

Die Produktregel erkennen und anwenden

Ist eine Funktion das Produkt zweier veränderlicher Faktoren, gilt

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

Beispiel: $F(x)=x^2\sin(x)$. Beide Faktoren hängen von $x$ ab, also

$$F'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x).$$

Ein häufiger Fehler ist, einfach beide Ableitungen zu multiplizieren. Im Allgemeinen ist $(fg)'\neq f'g'$.

Die Kettenregel bei verschachtelten Funktionen

Eine Verkettung hat die Form $F(x)=f(g(x))$. Ihre Ableitung lautet

$$F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

Man kann sich „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ merken. Für

$$F(x)=(3x^2+1)^5$$

ist die äußere Funktion $u^5$ und die innere Funktion $u=3x^2+1$. Damit

$$F'(x)=5(3x^2+1)^4\cdot6x =30x(3x^2+1)^4.$$

Produktregel und Kettenregel kombinieren

Bei

$$H(x)=x^2\exp(3x)$$

liegt außen ein Produkt. Der zweite Faktor ist zusätzlich eine Verkettung. Deshalb gilt

$$H'(x)=2x\exp(3x)+x^2\cdot3\exp(3x).$$

Anschließend kann ausgeklammert werden:

$$H'(x)=x\exp(3x)(2+3x).$$

Die sichere Reihenfolge lautet: zuerst die äußerste Rechenoperation erkennen, die passende Regel aufschreiben und erst danach die inneren Teilfunktionen ableiten.

Die Quotientenregel

Für $g(x)\neq0$ gilt

$$\left(\frac{f}{g}\right)' =\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Beim Zähler ist die Reihenfolge wichtig. Eine hilfreiche Kontrolle ist, den Quotienten alternativ als $f\cdot g^{-1}$ zu schreiben und Produkt- sowie Kettenregel anzuwenden.

Ein Entscheidungsplan für komplizierte Terme

1. Markiere die äußerste Operation: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
2. Zerlege den Term in benannte Teilfunktionen.
3. Schreibe die Regel zunächst symbolisch auf.
4. Leite die Teilfunktionen einzeln ab.
5. Setze ein, vereinfache und prüfe den Definitionsbereich.

Ergebnis kontrollieren

Prüfe die Ableitung an einer einfachen Stelle numerisch oder vergleiche sie mit der Steigung aus einem kleinen Differenzenquotienten. Außerdem helfen Größenordnung und Vorzeichen: Die Ableitung einer lokal wachsenden Funktion sollte dort nicht ohne Grund negativ sein.

Fazit

Ableitungsregeln sind ein Strukturwerkzeug. Wer die äußerste Operation zuerst erkennt, kann auch verschachtelte Terme kontrolliert von außen nach innen ableiten und vermeidet die häufigsten Regelverwechslungen.